✨เนื้อหา อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3
Key Takeaways
สรุปอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 ตั้งแต่ความหมายของอสมการ ความแตกต่างระหว่างสมการและอสมการ ไปจนถึงรูปแบบของคำตอบที่เป็นช่วงของจำนวนแทนค่าคำตอบเพียงค่าเดียว พร้อมทั้งอธิบายเครื่องหมายที่ใช้ เส้นจำนวน และวิธีแก้อสมการอย่างเป็นขั้นตอน นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยเพื่อช่วยให้นักเรียนเข้าใจและนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาได้จริงในระดับชั้น ม.3 ได้อย่างมั่นใจ
เมื่อพูดถึงสมการ น้อง ๆ ม.3 หลายคนอาจคุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว เพราะเป็นพื้นฐานสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์
แต่ในการเรียนรู้ ยังมีอีกหนึ่งหัวข้อที่มีความสำคัญไม่แพ้กัน นั่นคือ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งใช้บ่งถึงประโยคทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวถึงการ”ไม่เท่ากัน” และสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับโจทย์ได้หลากหลายสถานการณ์
บทความนี้จะพาน้อง ๆ ไปทำความเข้าใจตั้งแต่พื้นฐานว่า อสมการคืออะไร แตกต่างจากสมการอย่างไร วิธีแก้อสมการ จนถึงตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลย เพื่อให้น้อง ๆ สามารถนำไปใช้ในการเรียนและการสอบได้จริง
สมัครคอร์สอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 เตรียมสอบกับ OnDemand
อสมการคืออะไร ?
อสมการ (Inequality) คือ ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงความสัมพันธ์ของจำนวนสองค่าในลักษณะที่ “ไม่เท่ากัน”
ตัวอย่างเช่น x + 2 > 5 หมายความว่า ค่า x + 2 มีค่ามากกว่า 5 ซึ่งแตกต่างจากสมการที่ใช้เครื่องหมาย (=) เพื่อแสดงความเท่ากัน
เครื่องหมายที่ใช้ในอสมการ
📌 ≠ ไม่เท่ากับ
📌 > มากกว่า
📌 < น้อยกว่า
📌 ⩾ มากกว่าหรือเท่ากับ
📌 ⩽ น้อยกว่าหรือเท่ากับ
เส้นจำนวน
เส้นจำนวนจะช่วยให้เรามองภาพคำตอบของอสมการแต่ละข้อได้ง่ายขึ้น
อสมการแตกต่างจากสมการยังไง ?
จากความหมายของอสมการ เราจะเห็นว่ามีความแตกต่างจาก “สมการ” อย่างชัดเจน ดังนี้ สมการ เป็นประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงความเท่ากันของสองปริมาณ โดยมีเครื่องหมายเท่ากับ (=) เป็นตัวเชื่อม เช่น 3x + 2 = 11 ในขณะที่ อสมการ เป็นประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยใช้เครื่องหมายแทนความสัมพันธ์ของการไม่เท่ากัน ได้แก่ ≠,>, <, ≥ และ ≤ ตัวอย่างเช่น x + 3 > 7 เมื่อแก้อสมการจะได้ว่า x > 4 นั่นหมายความว่าค่าของ x สามารถเป็น 5,6,7 หรือจำนวนใด ๆ ที่มากกว่า 4 ได้ทั้งหมด เพราะล้วนทำให้อสมการนี้เป็นจริงอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคืออะไร ?
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ อสมการที่มีตัวแปรเพียง 1 ตัว โดยที่ตัวแปรนั้นมีเลขชี้กำลังเป้น 1 ตัวแปรอาจปรากฏหลายตำแหน่งได้ แต่ต้องเป็นตัวแปรเดียวกัน อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ถือว่าเป็นเนื้อหาสำคัญในระดับชั้น ม.3 ซึ่งน้อง ๆ จะได้เรียนรู้วิธีวิเคราะห์เงื่อนไขและหาช่วงของค่าที่ทำให้อสมการเป็นจริง ตัวอย่างอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ได้แก่ 📌 2x + 3 > 7 📌 3x + 5 ⩽ x − 2 จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นได้ว่ามีตัวแปรเพียง x ตัวเดียว และตัวแปรทุกตัวมีเลขชี้กำลังเป็น 1 จึงจัดเป็นอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวทั้งหมดคำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เมื่อแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแล้ว คำตอบที่ได้อาจมีลักษณะแตกต่างกันไป โดยสามารถแบ่งออกได้เป็น 3 กรณี ดังนี้ 📌 มีจำนวนจริงบางจำนวนเป็นคำตอบ เป็นกรณีที่มีเพียงบางค่าของตัวแปรเท่านั้นที่ทำให้อสมการเป็นจริง ตัวอย่าง x + 3 > 1 📌 มีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เป็นกรณีที่ไม่ว่าจะแทนค่าตัวแปรด้วยจำนวนจริงใด อสมการก็ยังคงเป็นจริงเสมอ ตัวอย่าง x − 1 < x 📌 ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ เป็นกรณีที่ไม่สามารถหาค่าของตัวแปรใด ๆ มาทำให้อสมการเป็นจริงได้ ตัวอย่าง x + 1 ⩾ x + 5เส้นจำนวนแสดงคำตอบของอสมการ
โดยทั่วไปแล้ว การแสดงคำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมักนิยมเขียนบนเส้นจำนวนควบคู่ไปด้วย เพราะช่วยให้มองเห็นช่วงคำตอบของอสมการนั้น ๆ ได้ชัดเจน ทำให้เข้าใจความหมายของอสมการได้ง่ายขึ้น ก่อนจะไปดูตัวอย่างการแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน มาทำความรู้จักสัญลักษณ์สำคัญที่ใช้ในการเขียนเส้นจำนวนกันก่อน
เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้น พี่ขอยกตัวอย่างเป็นเส้นจำนวนที่แสดงคำตอบของอสมการ -2 < x \leqslant 4 ดังรูปต่อไปนี้ครับ
การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้อสมการมีหลักการใกล้เคียงกับการแก้สมการ แต่มีบางกรณีที่ต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ดังนั้น ก่อนลงมือทำโจทย์ เรามาทำความรู้จักสมบัติของการไม่เท่ากัน (Properties of inequality) กันก่อน โดยกำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง
เมื่อเราได้เรียนรู้เกี่ยวกับสมบัติของความไม่เท่ากันแล้ว ต่อไปเราจะนำสมบัติเหล่านี้ไปใช้ในการแก้อสมการ
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ 6-3x > -18
เมื่อเราได้ลองแก้อสมการจากตัวอย่างต่าง ๆ กันไปแล้ว ต่อไปพี่จะพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับการแก้ปัญหาของโจทย์ในชีวิตประจำวัน เพื่อให้เห็นภาพการใช้งานจริงและเข้าใจเนื้อหาได้มากยิ่งขึ้น
โจทย์อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมเฉลย
ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3
- อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
- กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม
- สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
- แก้อสมการ
- ตรวจคำตอบ
เมื่อเราได้รู้ถึงขั้นตอนวิธีการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแล้ว ต่อไปเราจะไปลองทำโจทย์จริง ๆ กัน!
ตัวอย่างที่ 2 คณแม่วางแผนซื้อขนมราคา 20 บาทต่อชิ้น จงหาว่าคุณแม่ต้องซื้อขนมอย่างน้อยกี่ชิ้นจึงจะใช้เงินเกิน 300 บาท
วิธีทำ
- อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
คุณแม่ต้องการซื้อขนมชิ้นละ 20 บาท อยากรู้ว่าซื้อกี่ชิ้นจะใช้เงินเกิน 300 บาท - กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม
กำหนดให้ x คือจำนวนขนมที่คุณแม่ต้องซื้อ - สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
จากโจทย์จะได้อสมการคือ 20x > 300 - แก้อสมการ
จากอสมการคือ 20x > 300
เราทำการหารด้วย 20 ทั้งสองข้างของอสมการ จะได้
x > \dfrac{300}{20}
x > 15 - ตรวจคำตอบ
จากขั้นตอนที่ 4. เราทราบว่าุคณแม่ต้องซื้อขนมมากกว่า 15 ชิ้น จึงจะใช้เงินเกิน 300 บาท
นั่นหมายความว่าคุณแม่ต้องซื้อขนมอย่างน้อย 16 ชิ้น
ตรวจสอบคำตอบโดยการนำ 16 คูณกับ 20 เพื่อหาจำนวนเงินทั้งหมดที่คุณแม่ต้องใช้ จะได้ 16 \times 20 = 320 พบว่าเกิน 300 บาทตามที่โจทย์ต้องการ
ตอบ คุณแม่ต้องซื้อขนมอย่างน้อย 16 ชิ้น
✨ตัวอย่างที่ 3 พอลต้องการซื้อตั๋วภาพยนตร์ที่ราคา 120 บาทต่อตั๋ว พอลมีเงินอยู่ 600 บาท อยากทราบว่าพอลสามารถซื้อตั๋วหนังได้มากที่สุดกี่ใบ
วิธีทำ
- อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
ตั๋วภาพยนตร์ใบละ 120 บาท และพอลมีเงิน 600 บาท อยากทราบว่าพอลจะซื้อตั๋วหนังได้กี่ใบ - กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม
กำหนดให้ x คือจำนวนตั๋วที่พอลซื้อได้ - สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
จากโจทย์จะได้อสมการคือ 120x \leqslant 600 - แก้อสมการ
จากอสมการ 120x \leqslant 600
ทำการหารด้วย 120 ทั้งสองข้างของอสมการ จะได้
x \leqslant \dfrac{600}{120}
นั่นคือ x \leqslant 5 - ตรวจคำตอบ
จากขั้นตอนที่ 4. เราทราบว่าพอลสามารถซื้อตั๋วหนังได้มากที่สุด 5 ใบ ตรวจสอบโดยการนำ 5 ไปคูณกับ 120 จะได้ 5 \times 120 = 600 ซึ่งยังไม่เกินจำนวนเงินที่พอลมี ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง
ตอบ พอลสามารถซื้อตั๋วหนังได้มากที่สุด 5 ใบ
✨ตัวอย่างที่ 4 สามเท่าของจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งมากกว่า 15 อยู่ไม่เกิน 9 จำนวนเต็มบวกที่เป็นไปได้มีจำนวนใดบ้าง
วิธีทำ
- อ่านและทำความเข้าใจโจทย์ โจทย์ต้องการหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เป็นไปได้ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว
- กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม กำหนดให้ x คือจำนวนเต็มบวกนั้น
- สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
จากโจทย์ เราจะได้อสมการคือ 15 < 3x \leqslant 24 - แก้อสมการ
จากอสมการ 15 < 3x \leqslant 24
ทำการหารด้วย 3 ทั้งอสมการ
จะได้ \dfrac{15}{3} < x \leqslant \dfrac{24}{3}
หรือก็คือ 5 < x \leqslant 8 - ตรวจคำตอบ
จากการแก้อสมการ ทำให้เราทราบว่าจำนวนเต็มบวกที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6, 7 หรือ 8 เราสามารถตรวจคำตอบโดยการนำจำนวนเหล่านี้ไปคูณกับ 3 จะได้ 3(6) = 16, 3(7) = 21, 3(8) = 24 ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้นั้น มากกว่า 15 และมากกว่าอยู่ไม่เกิน 9 จริง ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง
ตอบ จำนวนเต็มบวกที่เป็นไปได้คือ 6, 7 และ 8
ตัวอย่างที่ 5 กันต์อ่านหนังสือวันแรกได้ \dfrac{2}{5} ของเล่ม วันต่อมาอ่านได้ 31 หน้า รวมสองวันอ่านได้มากกว่าครึ่งเล่ม อยากทราบว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมากกี่หน้า
วิธีทำ
- อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
วันแรกอ่านได้ \dfrac{2}{5} ของเล่ม
วันต่อมาอ่านได้ 31 หน้า
รวมสองวัน อ่านได้เกินครึ่งเล่ม
อยากทราบว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมากกี่หน้า - กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถาม กำหนดให้จำนวนหน้าทั้งหมดของหนังสือเล่มนี้คือ x
- สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
จากโจทย์ เราจะได้อสมการคือ \dfrac{2}{5}x + 31 > \dfrac{1}{2}x - แก้อสมการ
ลบด้วย \dfrac{1}{2}x ทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ \dfrac{2}{5}x – \dfrac{1}{2}x + 31 > 0
\dfrac{4}{10}x-\dfrac{5}{10}x + 31 > 0
-\dfrac{1}{10}x + 31 > 0
ทำการบวกด้วย \dfrac{1}{10}x ทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 31 > \dfrac{1}{10}x
คูณด้วย 10 ทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 310 > x - ตรวจคำตอบ
จากการแก้อสมการ ทำให้เราทราบว่า x ซึ่งคือจำนวนหน้าหนังสือต้องน้อยกว่า 310 ดังนั้นจำนวนหน้าหนังสือที่เป็นไปได้มากที่สุดที่ควรจะเป็นคือ 309 หน้า ดังนั้นเราจึงนำ 309 ไปลองแทนในอสมการที่เราได้ตั้งไว้
จะได้ \dfrac{2}{5}(309) + 31 > \dfrac{1}{2}(309)
หรือก็คือ 123.6 + 31 > 154.5
นั่นคือ 154.6 > 154.5
ซึ่งอสมการเป็นจริง
ตอบ หนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมาก 309 หน้า
ตัวอย่างที่ 6 ร้านขายขนมปังแห่งหนึ่งมีต้นทุนในการผลิตขนมปัง x ชิ้นต่อวันคือ 960 + 3x บาท ถ้าร้านขายขนมปังชนิดนี้ชิ้นละ 15 บาท อยากทราบว่าร้านขนมปังต้องผลิตขนมปังอย่างต่ำวันละกี่ชิ้นจึงจะได้กำไร
วิธีทำ
- อ่านและทำความเข้าใจโจทย์
ร้านขายขนมปังแห่งหนึ่งมีต้นทุนในการผลิตขนมปัง x ชิ้นต่อวันคือ 960 + 3x บาท
ขายไปชิ้นละ 15 บาท
อยากทราบว่าร้านขนมปังต้องผลิตขนมปังอย่างต่ำวันละกี่ชิ้นจึงจะได้กำไร - กำหนดตัวแปรในสิ่งที่โจทย์ถามเนื่องจากโจทย์กำหนดตัวแปรมาให้แล้ว เราจึงไม่จำเป็นต้องกำหนดตัวแปรเพิ่มเติมครับ นั่นคือโจทย์กำหนดให้ว่าจำนวนขนมปังที่ที่ผลิตต่อวันคือ x ชิ้น
- สร้างอสมการจากข้อมูลที่โจทย์ให้มา
จากโจทย์ เราจะได้อสมการคือ 15x – (960 + 3x) > 0 - แก้อสมการ
ทำการเปิดวงเล็บ 15x – 960 – 3x > 0
จากนั้นรวมพจน์ที่เป็นตัวแปร 12x – 960> 0
บวกด้วย 960 ทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 12x > 960
หารด้วย 12 ทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ x > \dfrac{960}{12}
หรือก็คือ x > 80 - ตรวจคำตอบ
จากการแก้อสมการ ทำให้เราพบว่าจำนวนขนมปังที่ผลิตในแต่ละวัน ต้องมากกว่า 80 ชิ้น จึงจะได้กำไร ดังนั้นจำนวนขนมปังที่ร้านต้องผลิตอย่างต่ำในแต่ละวันต้องเป็น 81 ชิ้น เราจึงนำ 81 ไปลองแทนในอสมการที่เราตั้งไว้
จะได้ 15(81) – (960 + 3(81)) > 0
1215 – (960 + 243) > 0
1215 – 1203 > 0
12 > 0
ซึ่งอสมการเป็นจริง
ตอบ ร้านขนมปังต้องผลิตขนมปังอย่างต่ำวันละ 81 ชิ้น จึงจะได้กำไร
สมัครคอร์สอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 ตะลุยโจทย์พร้อมสอบกับ OnDemand
เรียนอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว กับ OnDemand
เป็นอย่างไรกันบ้างครับกับการสรุปอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 ที่พี่นำมาฝากในวันนี้ หวังว่าน้อง ๆ จะเข้าใจหลักการสำคัญของการแก้อสมการ และการนำไปประยุกต์ใช้กับโจทย์ต่าง ๆ มากขึ้นนะครับ
อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ต้องอาศัยทั้งความเข้าใจและการฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอ หากยังมีบางจุดที่ไม่ชัดเจนก็ไม่ต้องกังวลครับ เพราะน้อง ๆ สามารถกลับมาย้อนทบทวนเนื้อหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 แบบสรุปและฝึกทำโจทย์เพิ่มเติมได้เสมอ ยิ่งฝึกมากเท่าไร ก็จะยิ่งมองเห็นแนวคิดและวิธีทำโจทย์ได้คล่องขึ้น
สำหรับน้อง ๆ ม.3 ที่อยากฝึกทำโจทย์เพิ่มเติมและเสริมความเข้าใจให้แน่นยิ่งขึ้น สามารถเรียนรู้แบบเป็นระบบผ่านคอร์สของ OnDemand ที่ช่วยปูพื้นฐานและพาไปฝึกโจทย์หลากหลายรูปแบบได้ครับ
สอบถามรายละเอียดคอร์สเรียนเพิ่มเติม
Add Line : Ondemand Education
โทรศัพท์ : 02-251-9456 (08.00-20.00)
คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับคอร์สอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 (FAQs)
คอร์สอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 เหมาะกับนักเรียนแบบไหน ?
เหมาะกับนักเรียนระดับ ม.3 ที่ต้องการปูพื้นฐานคณิตศาสตร์ให้เข้าใจเรื่องอสมการให้ชัดเจนมากขึ้น รวมถึงนักเรียนที่ต้องการเตรียมตัวสอบและต้องการฝึกทำโจทย์ให้คล่องขึ้น
เรียนคอร์สอสมการแล้วช่วยให้ทำโจทย์ได้ดีขึ้นจริงไหม ?
ช่วยได้ เพราะในคอร์สจะมีการอธิบายแนวคิดพื้นฐาน เทคนิคการแก้โจทย์ และตัวอย่างหลากหลายรูปแบบ ทำให้นักเรียนเข้าใจวิธีคิดมากกว่าการท่องจำสูตร
ถ้าพื้นฐานคณิตศาสตร์ไม่แน่น สามารถเรียนคอร์สนี้ได้ไหม ?
สามารถเรียนได้ เพราะเนื้อหาถูกออกแบบให้เริ่มจากพื้นฐาน เช่น ความหมายของอสมการและการแก้โจทย์ทีละขั้น ทำให้ค่อย ๆ เข้าใจได้ง่ายขึ้น
คอร์สนี้ช่วยเตรียมสอบเข้า ม.4 ได้หรือไม่ ?
ได้ เพราะเนื้อหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเป็นหนึ่งในเนื้อหาสำคัญในสนามสอบเข้าม.ปลาย การฝึกทำโจทย์ในคอร์สจะช่วยให้คุ้นเคยกับแนวข้อสอบมากขึ้น
ถ้าเรียนด้วยตัวเองแล้วยังไม่เข้าใจ ควรทำอย่างไร ?
แนะนำให้เรียนควบคู่กับคอร์สติวที่มีการอธิบายเป็นขั้นตอน พร้อมฝึกทำโจทย์อย่างต่อเนื่อง เพื่อช่วยให้เห็นภาพและเข้าใจวิธีคิดได้ชัดเจนขึ้น
บทความอื่นๆ เพิ่มเติม 👉 : OnDemand
